如何判斷函數的對稱性和週期性

M1M2數學

M1M2數學函數的性質著重解釋了單調性、宇稱性、週期性,但在檢驗中還可以檢驗函數的對稱性、連續性、凹凸性。對稱檢驗的頻率一直相對較高,如二次函數的對稱軸、反比例函數的對稱性、三角測量函數的對稱性,特別是抽象函數的對稱性判斷。

1.軸對稱函數軸對稱的定義:如果一個函數的

沿一條直線對折,直線兩側的

能夠完全重合,則稱該函數具備對稱性的軸對稱,該直線稱為該函數的對稱軸。函數中心對稱定義如果一個函數的

沿一個點旋轉180° 所得的

能與原函數

完全重合則稱該函數具備對稱性中的中心對稱該點稱為該函數的對稱中心。

2.函數的幾種變換1、平移變換函數y=f(x)的

向右平移a個單位得到函數y=f(x-a)的

;向上平移b個單位得到函數y=f(x)+b的

;左平移a個單位得到函數y=f(x+a)的

;向下平移b個單位得到函數y=f(x)-b的

(a,b 0)。

2、伸縮變換函數 y =f(x)的

上的點保持橫坐標不變縱坐標變為原來的k倍(0<k<1時,縮;k>1時,伸)得到函數 y = kf(x)的

;函數 y =f(x)的

上的點保持縱坐標不變橫坐標變為原來的1/k倍(0<k<1時,伸;k>1時,縮)得到函數y =f(k x)的

(k>0,且 k ≠1)。

3、對稱變換(1)函數y=f(x)的圖象關於y軸對稱的為y=f(-x);關於x軸對稱的

為y=-f(x);關於原點對稱的

為y=-f(-x)。(2)函數y =f(x)的圖象關於x=a對稱的

為y=f(2a-x);關於y=b對稱的為y=2b-f(x);關於點(a,b)中心對稱的

為y=2b-f(2a-x)。

(3)絕對值問題:①函數y=f(x)x軸及其上方的保持不變,把下方

關於x軸對稱的翻折到上方,再把下方的去掉得到函數y=|f(x)|。②函數y=f(x)y軸及其右側的

保持不變,把左側去掉,再把右側關於y軸對稱的翻折到左側得到函數y=f(|x|)的

。③函數y = f(x)先用第②步的方法得到函數y =f(| x|)的,再平移a個單位得到函數y =f(|x-a|)。